微积分学示例

$f (x) = \sin (\cos (\tan (x)))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (\tan (x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (\tan (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

解题步骤 1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\cos (\tan (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (\cos (\tan (x))) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\cos (\cos (\tan (x))) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$ 的因式。

$- \sec^{2} (x) \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

解题步骤 4.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

解题步骤 4.3

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

解题步骤 4.4

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

解题步骤 4.5

组合 $\cos (\cos (\tan (x)))$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$- \frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

解题步骤 4.6

组合 $\sin (\tan (x))$ 和 $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$ 。

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4.7

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 4.8

分离分数。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

解题步骤 4.9

将 $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

解题步骤 4.10

将 $\sin (\tan (x))$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

解题步骤 4.11

化简。

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解题步骤 4.11.1

用 $\sin (\tan (x))$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

解题步骤 4.11.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

解题步骤 4.12

将 $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

解题步骤 4.13

将 $\cos (\cos (\tan (x)))$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

解题步骤 4.14

化简。

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解题步骤 4.14.1

用 $\cos (\cos (\tan (x)))$ 除以 $1$ 。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

解题步骤 4.14.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

解题步骤 4.15

乘以 $\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ 。

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解题步骤 4.15.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \sin (\tan (x)))$

解题步骤 4.15.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \sin (\tan (x)))$

解题步骤 4.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) {\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

解题步骤 4.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$

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