微积分学示例

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

将 $- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

解题步骤 2.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 2.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 。

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.6

求微分。

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解题步骤 2.6.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.6.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.6.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.6.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.6.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.6.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 2.6.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 2.6.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

解题步骤 2.6.11

化简表达式。

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解题步骤 2.6.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

解题步骤 2.6.11.2

将 $x^{2} - 2 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.3

运用分配律。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.4

运用分配律。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.5

运用分配律。

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6

合并项。

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解题步骤 2.7.6.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.8

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.9

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.11

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.12

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.13

将 $- 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.14

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.15

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.7.6.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

解题步骤 2.7.6.17

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $- 6 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 6 x + 2$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

解题步骤 5.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

解题步骤 5.1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

解题步骤 5.1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 5.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

解题步骤 5.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5.1.5

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 5.1.6

求微分。

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解题步骤 5.1.6.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 5.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 5.1.6.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 5.1.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 5.1.6.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 5.1.6.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 5.1.6.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 5.1.6.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 5.1.6.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 5.1.6.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

解题步骤 5.1.6.11

化简表达式。

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解题步骤 5.1.6.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

解题步骤 5.1.6.11.2

将 $x^{2} - 2 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

解题步骤 5.1.7

化简。

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解题步骤 5.1.7.1

运用分配律。

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.2

运用分配律。

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.3

运用分配律。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.4

运用分配律。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.5

运用分配律。

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6

合并项。

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解题步骤 5.1.7.6.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.8

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.9

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.11

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.12

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.13

将 $- 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.14

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.15

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.7.6.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

解题步骤 5.1.7.6.17

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 6.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

从 $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.4

从 $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.5

从 $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2

因数。

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解题步骤 6.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 6.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

把 $- 2$ 重写为 $1$ 加 $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

运用分配律。

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

解题步骤 6.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 1$ 来因式分解多项式。

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 6.2.2.2

去掉多余的括号。

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.4

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $3 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x = - 1$

解题步骤 6.4.2.2

将 $3 x = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $3 x = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 6.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 6.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6.6

最终解为使 $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{3}, 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = - \frac{1}{3}, 1$

解题步骤 9

计算在 $x = - \frac{1}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

解题步骤 10.1.1.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

解题步骤 10.1.1.3

约去公因数。

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

解题步骤 10.1.1.4

重写表达式。

$- 2 \cdot - 1 + 2$

解题步骤 10.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 + 2$

解题步骤 10.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{1}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{1}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = - \frac{1}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.2

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.3

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

解题步骤 12.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

解题步骤 12.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

解题步骤 12.2.6

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

解题步骤 12.2.7

化简分子。

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解题步骤 12.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

解题步骤 12.2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

解题步骤 12.2.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

解题步骤 12.2.9

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.2.9.1

对 $- \frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

解题步骤 12.2.9.2

对 $\frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

解题步骤 12.2.10

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 12.2.10.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 12.2.10.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 12.2.10.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 12.2.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 12.2.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 12.2.11

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

解题步骤 12.2.12

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

解题步骤 12.2.13

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

解题步骤 12.2.14

乘以 $- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ 。

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解题步骤 12.2.14.1

将 $\frac{16}{9}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

解题步骤 12.2.14.2

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

解题步骤 12.2.14.3

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

解题步骤 12.2.15

最终答案为 $- \frac{32}{27}$ 。

$y = - \frac{32}{27}$

解题步骤 13

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 \cdot 1 + 2$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6 + 2$

解题步骤 14.2

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$- 4$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

解题步骤 16.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

解题步骤 16.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

解题步骤 16.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (1) = - 2 \cdot 0$

解题步骤 16.2.5

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 16.2.6

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ 的局部极值。

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ 是一个局部最小值

$(1, 0)$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例