微积分学示例

$f (x) = x^{3}$ , $[0, 1]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x^{3} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

解题步骤 6

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

解题步骤 6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

解题步骤 6.2.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

解题步骤 6.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0)$

解题步骤 6.2.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}))$

解题步骤 6.2.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} + 0)$

解题步骤 6.2.6

将 $\frac{1}{4}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4})$

解题步骤 7

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 7.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 8

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

约去 $1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 8.1.2

重写表达式。

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例