微积分学示例

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$

解题步骤 1

将

$x e^{- x}$ 重写为

$\frac{x}{e^{x}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 2.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 2.1.3

因为指数

$x$ 趋于

$\infty$ ，所以数量

$e^{x}$ 趋于

$\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为

$\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于

$a^{x} \ln (a)$ ，其中

$a$ =

$e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数

$\frac{1}{e^{x}}$ 趋于

$0$ 。

$0$

微积分学 示例

微积分学示例