微积分学示例

lim h \to 0 \frac{cos (h) - 1}{h}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

\frac{lim h \to 0 cos (h) - 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当

h

$h$ 趋于

$0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算

$1$ 的极限值，当

$h$ 趋近于

$0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.2

将

$0$ 代入

$h$ 来计算

$h$ 的极限值。

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为

$1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从

$1$ 中减去

$1$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.3

将

$0$ 代入

$h$ 来计算

$h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为

$\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则，

$\cos (h) - 1$ 对

$h$ 的导数是

$\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3

$\cos (h)$ 对

$h$ 的导数为

$- \sin (h)$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4

因为

$- 1$ 对于

$h$ 是常数，所以

$- 1$ 对

$h$ 的导数为

$0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5

将

$- \sin (h)$ 和

$0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于

$n h^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

解题步骤 1.4

用

$- \sin (h)$ 除以

$1$ 。

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项

$- 1$ 对于

$h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{h \to 0} \sin (h)$

解题步骤 2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

解题步骤 3

将

$0$ 代入

$h$ 来计算

$h$ 的极限值。

$- \sin (0)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

$\sin (0)$ 的准确值为

$0$ 。

$- 0$

解题步骤 4.2

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$0$

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