微积分学示例

lim n \to \infty \frac{n}{2^{n}}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

\frac{lim n \to \infty n}{lim n \to \infty 2^{n}}

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

解题步骤 1.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

\frac{\infty}{lim n \to \infty 2^{n}}

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

解题步骤 1.1.3

因为指数

n

$n$ 趋于

\infty

$\infty$ ，所以数量

2^{n}

$2^{n}$ 趋于

\infty

$\infty$ 。

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.2

因为

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

lim n \to \infty \frac{n}{2^{n}} = lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d n} [n^{n}]

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于

n \cdot n^{n - 1}

$n \cdot n^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

lim n \to \infty \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

解题步骤 1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d n} [a^{n}]

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$ 等于

a^{n} ln (a)

$a^{n} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

2

$2$ 。

lim n \to \infty \frac{1}{2^{n} ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim n \to \infty \frac{1}{2^{n} ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim n \to \infty \frac{1}{2^{n} ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

解题步骤 2

因为项

\frac{1}{ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ 对于

n

$n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

\frac{1}{ln (2)} lim n \to \infty \frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数

\frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{2^{n}}$ 趋于

0

$0$ 。

\frac{1}{ln (2)} \cdot 0

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

解题步骤 4

将

\frac{1}{ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ 乘以

0

$0$ 。

0

$0$

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