微积分学示例

$\frac{\tan (6 x)}{\sin (2 x)}$

解题步骤 1

将 $\tan (6 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (2 x)}]$

解题步骤 2

将 $\frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (2 x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}]$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ 转换成 $\tan (6 x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\tan (6 x) \frac{1}{\sin (2 x)}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\csc (2 x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\tan (6 x) \csc (2 x)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan (6 x)$ 且 $g (x) = \csc (2 x)$ 。

$\tan (6 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\tan (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

解题步骤 5.2

$\csc (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 。

$\tan (6 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

解题步骤 5.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\tan (6 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\tan (6 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

解题步骤 6.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $6 x$ 。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 7.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 7.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (\sec^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \sec^{2} (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \sec^{2} (6 x) (6 \cdot 1)$

解题步骤 8.3

化简表达式。

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解题步骤 8.3.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \sec^{2} (6 x) \cdot 6$

解题步骤 8.3.2

将 $6$ 移到 $\csc (2 x) \sec^{2} (6 x)$ 的左侧。

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + 6 \cdot (\csc (2 x) \sec^{2} (6 x))$

解题步骤 8.3.3

重新排序项。

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x) \tan (6 x) + 6 \sec^{2} (6 x) \csc (2 x)$

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