微积分学示例

\int \cos^{2} (y) d y

$\int \cos^{2} (y) d y$

解题步骤 1

使用半角公式将

\frac{1 + \cos (2 y)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ 重新书写为

\cos^{2} (y)

$\cos^{2} (y)$ 的形式。

\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

解题步骤 2

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

y

$y$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

解题步骤 5

使

u = 2 y

$u = 2 y$ 。然后使

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ ，以便

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设

u = 2 y

$u = 2 y$ 。求

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对

2 y

$2 y$ 求导。

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 5.1.2

因为

2

$2$ 对于

y

$y$ 是常数，所以

2 y

$2 y$ 对

y

$y$ 的导数是

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

2

$2$

2

$2$

解题步骤 5.2

使用

u

$u$ 和

d u

$d u$ 重写该问题。

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 6

组合

\cos (u)

$\cos (u)$ 和

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 7

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 8

\cos (u)

$\cos (u)$ 对

u

$u$ 的积分为

\sin (u)

$\sin (u)$ 。

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 9

化简。

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 10

使用

2 y

$2 y$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

\sin (2 y)

$\sin (2 y)$ 。

\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

解题步骤 11.2

运用分配律。

\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

解题步骤 11.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

y

$y$ 。

\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

解题步骤 11.4

乘以

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ 。

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解题步骤 11.4.1

将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 乘以

\frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ 。

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 11.4.2

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

微积分学 示例

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