微积分学示例

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (7 π x)} \cos (7 π x) d x

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (7 π x)} \cos (7 π x) d x$

解题步骤 1

使

u_{2} = \sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ 。然后使

d u_{2} = 7 π \cos (7 π x) d x

$d u_{2} = 7 π \cos (7 π x) d x$ ，以便

\frac{1}{7 π} d u_{2} = \cos (7 π x) d x

$\frac{1}{7 π} d u_{2} = \cos (7 π x) d x$ 。使用

u_{2}

$u_{2}$ 和

d

$d$

u_{2}

$u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设

u_{2} = \sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ 。求

\frac{d u_{2}}{d x}

$\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对

\sin (7 π x)

$\sin (7 π x)$ 求导。

\frac{d}{d x} [\sin (7 π x)]

$\frac{d}{d x} [\sin (7 π x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = \sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ 且

g (x) = 7 π x

$g (x) = 7 π x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将

u_{1}

$u_{1}$ 设为

7 π x

$7 π x$ 。

\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 π x]

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 π x]$

解题步骤 1.1.2.2

\sin (u_{1})

$\sin (u_{1})$ 对

u_{1}

$u_{1}$ 的导数为

\cos (u_{1})

$\cos (u_{1})$ 。

\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 π x]

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 π x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用

7 π x

$7 π x$ 替换所有出现的

u_{1}

$u_{1}$ 。

\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]

$\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]$

\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]

$\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为

7 π

$7 π$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

7 π x

$7 π x$ 对

x

$x$ 的导数是

7 π \frac{d}{d x} [x]

$7 π \frac{d}{d x} [x]$ 。

\cos (7 π x) (7 π \frac{d}{d x} [x])

$\cos (7 π x) (7 π \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\cos (7 π x) (7 π \cdot 1)

$\cos (7 π x) (7 π \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.3.1

将

7

$7$ 乘以

1

$1$ 。

\cos (7 π x) (7 π)

$\cos (7 π x) (7 π)$

解题步骤 1.1.3.3.2

将

7

$7$ 移到

\cos (7 π x)

$\cos (7 π x)$ 的左侧。

7 \cdot \cos (7 π x) π

$7 \cdot \cos (7 π x) π$

解题步骤 1.1.3.3.3

重新排序

7 \cos (7 π x) π

$7 \cos (7 π x) π$ 的因式。

7 π \cos (7 π x)

$7 π \cos (7 π x)$

7 π \cos (7 π x)

$7 π \cos (7 π x)$

7 π \cos (7 π x)

$7 π \cos (7 π x)$

7 π \cos (7 π x)

$7 π \cos (7 π x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换

u_{2} = \sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ 中的

x

$x$ 。

u_{lower} = \sin (7 π \cdot 0)

$u_{lower} = \sin (7 π \cdot 0)$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

乘以

7 π \cdot 0

$7 π \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1

将

0

$0$ 乘以

7

$7$ 。

u_{lower} = \sin (0 π)

$u_{lower} = \sin (0 π)$

解题步骤 1.3.1.2

将

0

$0$ 乘以

π

$π$ 。

u_{lower} = \sin (0)

$u_{lower} = \sin (0)$

u_{lower} = \sin (0)

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 1.3.2

\sin (0)

$\sin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换

u_{2} = \sin (7 π x)

$u_{2} = \sin (7 π x)$ 中的

x

$x$ 。

u_{upper} = \sin (7 π \frac{π}{2})

$u_{upper} = \sin (7 π \frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

乘以

7 π \frac{π}{2}

$7 π \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1.1

组合

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ 和

7

$7$ 。

u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7}{2} π)

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7}{2} π)$

解题步骤 1.5.1.2

组合

\frac{π \cdot 7}{2}

$\frac{π \cdot 7}{2}$ 和

π

$π$ 。

u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7 π}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7 π}{2})$

解题步骤 1.5.1.3

对

π

$π$ 进行

1

$1$ 次方运算。

u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π)}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π)}{2})$

解题步骤 1.5.1.4

对

π

$π$ 进行

1

$1$ 次方运算。

u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π^{1})}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π^{1})}{2})$

解题步骤 1.5.1.5

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{1 + 1}}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{1 + 1}}{2})$

解题步骤 1.5.1.6

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})$

u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})$

解题步骤 1.5.2

计算

\sin (\frac{7 π^{2}}{2})

$\sin (\frac{7 π^{2}}{2})$ 。

u_{upper} = 0.01390333

$u_{upper} = 0.01390333$

u_{upper} = 0.01390333

$u_{upper} = 0.01390333$

解题步骤 1.6

求得的

u_{lower}

$u_{lower}$ 和

u_{upper}

$u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 0.01390333

$u_{upper} = 0.01390333$

解题步骤 1.7

使用

u_{2}

$u_{2}$ 、

d u_{2}

$d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}

$\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}$

\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}

$\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}$

解题步骤 2

组合

e^{u_{2}}

$e^{u_{2}}$ 和

\frac{1}{7 π}

$\frac{1}{7 π}$ 。

\int_{0}^{0.01390333} \frac{e^{u_{2}}}{7 π} d u_{2}

$\int_{0}^{0.01390333} \frac{e^{u_{2}}}{7 π} d u_{2}$

解题步骤 3

由于

\frac{1}{7 π}

$\frac{1}{7 π}$ 对于

u_{2}

$u_{2}$ 是常数，所以将

\frac{1}{7 π}

$\frac{1}{7 π}$ 移到积分外。

\frac{1}{7 π} \int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} d u_{2}

$\frac{1}{7 π} \int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

e^{u_{2}}

$e^{u_{2}}$ 对

u_{2}

$u_{2}$ 的积分为

e^{u_{2}}

$e^{u_{2}}$ 。

\frac{1}{7 π} e^{u_{2}}]_{0}^{0.01390333}

$\frac{1}{7 π} e^{u_{2}}]_{0}^{0.01390333}$

解题步骤 5

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

计算

e^{u_{2}}

$e^{u_{2}}$ 在

0.01390333

$0.01390333$ 处和在

0

$0$ 处的值。

\frac{1}{7 π} ((e^{0.01390333}) - e^{0})

$\frac{1}{7 π} ((e^{0.01390333}) - e^{0})$

解题步骤 5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

任何数的

0

$0$ 次方都是

1

$1$ 。

\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1 \cdot 1)

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

\frac{1}{7 π} \cdot (e^{0.01390333} - 1)

$\frac{1}{7 π} \cdot (e^{0.01390333} - 1)$

小数形式：

0.00063663 \dots

$0.00063663 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例