微积分学示例

$\int \sin (3 t) d t$

解题步骤 1

使

$u = 3 t$ 。然后使

$d u = 3 d t$ ，以便

$\frac{1}{3} d u = d t$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设

$u = 3 t$ 。求

$\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对

$3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 1.1.2

因为

$3$ 对于

$t$ 是常数，所以

$3 t$ 对

$t$ 的导数是

$3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于

$n t^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$3$

$3$

解题步骤 1.2

使用

$u$ 和

$d u$ 重写该问题。

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合

$\sin (u)$ 和

$\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 3

由于

$\frac{1}{3}$ 对于

$u$ 是常数，所以将

$\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对

$u$ 的积分为

$- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简。

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

解题步骤 5.2

组合

$\frac{1}{3}$ 和

$\cos (u)$ 。

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

解题步骤 6

使用

$3 t$ 替换所有出现的

$u$ 。

$- \frac{\cos (3 t)}{3} + C$

解题步骤 7

重新排序项。

$- \frac{1}{3} \cos (3 t) + C$

$\int_{}^{} \sin (3 t) d t$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$