微积分学示例

$\int \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos^{2} (2 x) d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

解题步骤 3

组合 $\sin (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

解题步骤 5

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $- \cos (u_{1})$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (2 x) d x$

解题步骤 6

使 $u_{2} = 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

设 $u_{2} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7

组合 $\cos^{2} (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 9

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{2})$ 的形式。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 14

使 $u_{3} = 2 u_{2}$ 。然后使 $d u_{3} = 2 d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

设 $u_{3} = 2 u_{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1.1

对 $2 u_{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

解题步骤 14.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $2 u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

解题步骤 14.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 14.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 14.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 15

组合 $\cos (u_{3})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

解题步骤 16

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

解题步骤 17

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\sin (u_{3})$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

解题步骤 18

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1

化简。

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

解题步骤 18.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.1

要将 $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 18.2.2

组合 $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 18.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 18.2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (u_{3})$ 。

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 18.2.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

解题步骤 18.2.6

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 (1)}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

解题步骤 18.2.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

解题步骤 18.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

解题步骤 18.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

解题步骤 19

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.1

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

解题步骤 19.2

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

解题步骤 19.3

使用 $2 u_{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 u_{2})}{2})}{2} + C$

解题步骤 19.4

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2})}{2} + C$

解题步骤 20

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2})}{2} + C$

解题步骤 20.2

运用分配律。

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 20.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 20.3.2

约去公因数。

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 20.3.3

重写表达式。

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 20.4

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (4 x)}{2}$ 。

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

解题步骤 20.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 21

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1

从 $- \cos (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos (2 x)) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 21.2

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos (2 x)) - 1 (- x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 21.3

从 $- (\cos (2 x)) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos (2 x) - x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 21.4

从 $\frac{\sin (4 x)}{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 21.5

从 $- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

解题步骤 21.6

将 $- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ 重写为 $- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ 。

$\frac{- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

解题步骤 21.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 21.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\cos (2 x) - x - \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 21.9

重新排序项。

$- \frac{1}{2} (\cos (2 x) - x - \frac{1}{4} \sin (4 x)) + C$

微积分学 示例

微积分学示例