微积分学示例

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 $\sec (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

解题步骤 1.2

对 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 运用乘积法则。

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

解题步骤 1.3

一的任意次幂都为一。

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

解题步骤 1.4

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ 。

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

解题步骤 1.5

从 $\cos^{5} (2 x)$ 中分解出因数 $\cos (2 x)$ 。

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

解题步骤 1.6

分离分数。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

解题步骤 1.7

将 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\tan (2 x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

解题步骤 1.8

组合 $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ 和 $\tan (2 x)$ 。

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

解题步骤 1.9

从 $\cos^{4} (2 x)$ 中分解出因数 $\cos (2 x)$ 。

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

解题步骤 1.10

分离分数。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

解题步骤 1.11

将 $\tan (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

解题步骤 1.12

将 $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

解题步骤 1.13

化简。

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解题步骤 1.13.1

将 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\tan (2 x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

解题步骤 1.13.2

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.14

乘以 $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ 。

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解题步骤 1.14.1

组合 $\tan (2 x)$ 和 $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ 。

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

解题步骤 1.14.2

组合 $\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ 和 $\sec (2 x)$ 。

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

解题步骤 1.15

从 $\cos^{3} (2 x)$ 中分解出因数 $\cos (2 x)$ 。

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

解题步骤 1.16

分离分数。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

解题步骤 1.17

将 $\tan (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

解题步骤 1.18

将 $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

解题步骤 1.19

化简。

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解题步骤 1.19.1

将 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\tan (2 x)$ 。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

解题步骤 1.19.2

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.20

从 $\cos^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $\cos (2 x)$ 。

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.21

分离分数。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.22

将 $\sec (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.23

将 $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.24

化简。

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解题步骤 1.24.1

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.24.2

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.24.3

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.24.4

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.24.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.24.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

解题步骤 1.25

通过指数相加将 $\sec^{2} (2 x)$ 乘以 $\sec (2 x)$ 。

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解题步骤 1.25.1

移动 $\sec (2 x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

解题步骤 1.25.2

将 $\sec (2 x)$ 乘以 $\sec^{2} (2 x)$ 。

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解题步骤 1.25.2.1

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

解题步骤 1.25.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

解题步骤 1.25.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

解题步骤 1.26

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

解题步骤 1.27

通过指数相加将 $\sec (2 x)$ 乘以 $\sec^{3} (2 x)$ 。

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解题步骤 1.27.1

将 $\sec (2 x)$ 乘以 $\sec^{3} (2 x)$ 。

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解题步骤 1.27.1.1

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

解题步骤 1.27.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

解题步骤 1.27.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = \sec (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = \sec (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sec (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2.2

$\sec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

解题步骤 2.1.3.3.2

将 $2$ 移到 $\sec (2 x) \tan (2 x)$ 的左侧。

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 3

组合 ${u_{2}}^{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

解题步骤 5

根据幂法则， ${u_{2}}^{3}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 7

使用 $\sec (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$

微积分学 示例

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