微积分学示例

$\int \sin (x) \sec^{8} (x) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{8} d x$

解题步骤 1.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\int \sin (x) \frac{1^{8}}{\cos^{8} (x)} d x$

解题步骤 1.3

一的任意次幂都为一。

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos^{8} (x)} d x$

解题步骤 1.4

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{\cos^{8} (x)}$ 。

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{8} (x)} d x$

解题步骤 1.5

从 $\cos^{8} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{7} (x)} d x$

解题步骤 1.6

分离分数。

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

解题步骤 1.7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \tan (x) d x$

解题步骤 1.8

组合 $\frac{1}{\cos^{7} (x)}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{7} (x)} d x$

解题步骤 1.9

从 $\cos^{7} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{6} (x)} d x$

解题步骤 1.10

分离分数。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

解题步骤 1.11

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

解题步骤 1.12

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

解题步骤 1.13

化简。

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解题步骤 1.13.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

解题步骤 1.13.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.14

乘以 $\frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ 。

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解题步骤 1.14.1

组合 $\tan (x)$ 和 $\frac{1}{\cos^{6} (x)}$ 。

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)} \sec (x) d x$

解题步骤 1.14.2

组合 $\frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)}$ 和 $\sec (x)$ 。

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos^{6} (x)} d x$

解题步骤 1.15

从 $\cos^{6} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos (x) \cos^{5} (x)} d x$

解题步骤 1.16

分离分数。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

解题步骤 1.17

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

解题步骤 1.18

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

解题步骤 1.19

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解题步骤 1.19.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

解题步骤 1.19.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.20

从 $\cos^{5} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\int \frac{\sec (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.21

分离分数。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.22

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.23

将 $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.24

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解题步骤 1.24.1

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.24.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.24.3

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.24.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.24.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.24.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.25

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 1.25.1

移动 $\sec (x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

解题步骤 1.25.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.25.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

解题步骤 1.25.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

解题步骤 1.25.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.26

组合 $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 和 $\sec^{3} (x)$ 。

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{4} (x)} \tan (x) d x$

解题步骤 1.27

从 $\cos^{4} (x)$ 中分解出因数 $\cos^{3} (x)$ 。

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x) \cos (x)} \tan (x) d x$

解题步骤 1.28

分离分数。

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \tan (x) d x$

解题步骤 1.29

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\int \frac{1}{\cos (x)} \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.30

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \sec (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.31

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{6} (x)$ 。

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解题步骤 1.31.1

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{6} (x)$ 。

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解题步骤 1.31.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sec^{1} (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.31.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\sec (x)}^{1 + 6} \tan (x) d x$

解题步骤 1.31.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\int \sec^{7} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{6} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{6}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

解题步骤 4

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

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