微积分学示例

$\int \sec (3 t) \tan (3 t) d t$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \sec (3 t)$ 。然后使 $d u_{2} = 3 \sec (3 t) \tan (3 t) d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 t) \tan (3 t) d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \sec (3 t)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sec (3 t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\sec (3 t)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sec (t)$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 t$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sec (3 t) \tan (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\sec (3 t) \tan (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec (3 t) \tan (3 t) (3 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\sec (3 t) \tan (3 t) \cdot 3$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $3$ 移到 $\sec (3 t) \tan (3 t)$ 的左侧。

$3 \sec (3 t) \tan (3 t)$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} u_{2} + C$

解题步骤 3

使用 $\sec (3 t)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} \sec (3 t) + C$

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