微积分学示例

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{x}{6}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{6} d x$ ，以便 $6 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{x}{6}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{x}{6}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{x}{6}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

解题步骤 1.3

将上限代入替换 $u = \frac{x}{6}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

解题步骤 1.4

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{6}$ 。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

解题步骤 2.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

解题步骤 2.3

将 $6$ 移到 $\cot^{2} (u)$ 的左侧。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

解题步骤 3

由于 $6$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

解题步骤 4

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (u)$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (u)$ 的形式。

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

解题步骤 7

因为 $- \cot (u)$ 的导数为 $\csc^{2} (u)$ ，所以 $\csc^{2} (u)$ 的积分为 $- \cot (u)$ 。

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 8

组合 $- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ 和 $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ 。

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 9

计算 $- u - \cot (u)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{6}$ 处的值。

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

解题步骤 10.2

$\cot (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

解题步骤 10.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

解题步骤 10.4

将 $- \frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

解题步骤 10.5

要将 $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 10.6

组合 $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

解题步骤 10.7

在公分母上合并分子。

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 10.9

组合 $6$ 和 $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ 。

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

解题步骤 10.10

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.10.1

从 $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

解题步骤 10.10.2

约去公因数。

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解题步骤 10.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

解题步骤 10.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 10.10.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

解题步骤 10.10.2.4

用 $3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ 除以 $1$ 。

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

解题步骤 11.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

解题步骤 11.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

解题步骤 11.2.3

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

解题步骤 11.2.4

约去公因数。

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

解题步骤 11.2.5

重写表达式。

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

解题步骤 11.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.4

将负号移到分数的前面。

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.5

乘以 $- - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 11.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.5.2

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $1$ 。

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.6

要将 $- π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.7

组合 $- π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.8

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.10

将 $- 3 π$ 和 $π$ 相加。

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.11

将负号移到分数的前面。

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.12

运用分配律。

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.13

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.13.1

将 $- \frac{2 π}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.13.2

约去公因数。

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.13.3

重写表达式。

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

解题步骤 11.14

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

小数形式：

$4.10911953 \dots$

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