微积分学示例

$\int_{π}^{2 π} x \sin (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - \int_{π}^{2 π} - \cos (x) d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - - \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + 1 \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

解题步骤 3.2

将 $\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $x (- \cos (x))]_{π}^{2 π}$ 和 $\sin (x)]_{π}^{2 π}$ 。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ 在 $2 π$ 处和在 $π$ 处的值。

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

解题步骤 5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

解题步骤 6.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

解题步骤 6.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 π + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

解题步骤 6.1.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 π + \sin (0) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

解题步骤 6.1.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 π + 0 - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

解题步骤 6.1.6

化简每一项。

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解题步骤 6.1.6.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 2 π + 0 - (π (- - \cos (0)) + \sin (π))$

解题步骤 6.1.6.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 π + 0 - (π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π))$

解题步骤 6.1.6.3

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.1.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 π + 0 - (π (- - 1) + \sin (π))$

解题步骤 6.1.6.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 π + 0 - (π \cdot 1 + \sin (π))$

解题步骤 6.1.6.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$- 2 π + 0 - (π + \sin (π))$

解题步骤 6.1.6.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 2 π + 0 - (π + \sin (0))$

解题步骤 6.1.6.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 π + 0 - (π + 0)$

解题步骤 6.1.7

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$- 2 π + 0 - π$

解题步骤 6.2

将 $- 2 π$ 和 $0$ 相加。

$- 2 π - π$

解题步骤 6.3

从 $- 2 π$ 中减去 $π$ 。

$- 3 π$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 3 π$

小数形式：

$- 9.42477796 \dots$

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