微积分学示例

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

解题步骤 1

由于 $5.3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $5.3$ 移到积分外。

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

解题步骤 2

将 $5.3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

解题步骤 3

使 $u_{1} = w t$ 。然后使 $d u_{1} = w d t$ ，以便 $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = w t$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $w t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [w t]$

解题步骤 3.1.2

因为 $w$ 对于 $t$ 是常数，所以 $w t$ 对 $t$ 的导数是 $w \frac{d}{d t} [t]$ 。

$w \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$w \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $w$ 乘以 $1$ 。

$w$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u_{1} = w t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = w \cdot 0$

解题步骤 3.3

将 $w$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u_{1} = w t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = w \cdot 5$

解题步骤 3.5

将 $5$ 移到 $w$ 的左侧。

$u_{upper} = 5 w$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

解题步骤 3.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

解题步骤 4

组合 $\sin^{2} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{w}$ 。

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{w}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{w}$ 移到积分外。

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{w}$ 和 $26.5$ 。

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

解题步骤 7

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{26.5}{w}$ 。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

解题步骤 13

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 13.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 13.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 13.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 13.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 13.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 2 (5 w)$

解题步骤 13.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 10 w$

解题步骤 13.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

解题步骤 13.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

解题步骤 14

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

解题步骤 15

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

解题步骤 16

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

解题步骤 17

组合 $\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

解题步骤 18

代入并化简。

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解题步骤 18.1

计算 $u_{1}$ 在 $5 w$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

解题步骤 18.2

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $10 w$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

解题步骤 18.3

将 $5 w$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

解题步骤 19.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

解题步骤 19.3

将 $\sin (10 w)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

从 $26.5$ 中分解出因数 $26.5$ 。

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

解题步骤 20.2

从 $2 w$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

解题步骤 20.3

分离分数。

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

解题步骤 20.4

用 $26.5$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

解题步骤 20.5

组合 $13.25$ 和 $\frac{1}{w}$ 。

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

解题步骤 20.6

从 $\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ 中分解出因数 $\frac{13.25}{w}$ 。

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

解题步骤 20.7

乘以 $1$ 。

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

解题步骤 20.8

从 $13.25$ 中分解出因数 $13.25$ 。

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

解题步骤 20.9

分离分数。

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

解题步骤 20.10

用 $1$ 除以 $13.25$ 。

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

解题步骤 20.11

用 $w$ 除以 $1$ 。

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

解题步骤 20.12

乘以 $0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ 。

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解题步骤 20.12.1

组合 $0.07547169$ 和 $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ 。

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

解题步骤 20.12.2

组合 $w$ 和 $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ 。

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

解题步骤 20.13

将 $0.07547169$ 移到 $w$ 的左侧。

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

解题步骤 20.14

重新排序项。

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

解题步骤 21

组合 $\sin (10 w)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

微积分学 示例

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