微积分学示例

$- \frac{1}{3 \int_{0}^{1} \cos (3 x - 3) d x}$

解题步骤 1

使 $u = 3 x - 3$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 x - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x - 3]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 3 x - 3$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 3$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 - 3$

解题步骤 1.3.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$u_{lower} = - 3$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 3 x - 3$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 3$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 3 - 3$

解题步骤 1.5.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- \frac{1}{3 \int_{- 3}^{0} \cos (u) \frac{1}{3} d u}$

解题步骤 2

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3 \int_{- 3}^{0} \frac{\cos (u)}{3} d u}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{3 (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} \cos (u) d u)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$- \frac{1}{\frac{3}{3} \int_{- 3}^{0} \cos (u) d u}$

解题步骤 4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{\frac{3}{3} \int_{- 3}^{0} \cos (u) d u}$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{1 \int_{- 3}^{0} \cos (u) d u}$

解题步骤 4.3

将 $\int_{- 3}^{0} \cos (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{\int_{- 3}^{0} \cos (u) d u}$

解题步骤 5

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$- \frac{1}{\sin (u)]_{- 3}^{0}}$

解题步骤 6

计算 $\sin (u)$ 在 $0$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$- \frac{1}{\sin (0) - \sin (- 3)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{1}{0 - \sin (- 3)}$

解题步骤 7.2

从 $0$ 中减去 $\sin (- 3)$ 。

$- \frac{1}{- \sin (- 3)}$

解题步骤 7.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (- 3)}$

解题步骤 7.3.2

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{1}{\sin (- 3)}$

解题步骤 7.4

将 $\frac{1}{\sin (- 3)}$ 转换成 $\csc (- 3)$ 。

$- - \csc (- 3)$

解题步骤 7.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \csc (- 3)$

解题步骤 7.6

将 $\csc (- 3)$ 乘以 $1$ 。

$\csc (- 3)$

解题步骤 8

计算 $\csc (- 3)$ 。

$- 7.08616739$

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