微积分学示例

$\int x (1 + \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x (1 + x^{\frac{1}{2}}) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\int x \cdot 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.2

将 $x$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\int x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\int x + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

解题步骤 2.8

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int x + x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

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