微积分学示例

$\int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

解题步骤 4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + \int 2 d u)$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + 2 u + C)$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{2} (e^{u} + 2 u) + C$

解题步骤 7

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

解题步骤 8.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x^{2})) + C$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

解题步骤 8.3.3

重写表达式。

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + x^{2} + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + x^{2} + C$

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