微积分学示例

$\int x \log_{5} (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \log_{5} (x)$ ， $d v = x$ 。

$\log_{5} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\log_{5} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\log_{5} (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x \ln (5)}$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (5)} d x)$

解题步骤 4.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $x \ln (5)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (5))} d x)$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x)$

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{\ln (5)}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{\ln (5)}$ 移到积分外。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (5)} \int x d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{\ln (5)}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (5) \cdot 2} \int x d x$

解题步骤 6.2

将 $2$ 移到 $\ln (5)$ 的左侧。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \int x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ 。

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\log_{5} (x)$ 。

$\frac{\log_{5} (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{\log_{5} (x)}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 \ln (5)}$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (5))} x^{2} + C$

解题步骤 8.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$

解题步骤 8.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{4 \ln (5)}$ 。

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (5)} + C$

解题步骤 8.4

重新排序项。

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$

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