微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{4}$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.1.3

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\frac{π}{4}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.3

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) - \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.5

从 $0$ 中减去 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $\sin (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 1.3.8.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) - - \sin (x)}$

解题步骤 1.3.8.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) + 1 \sin (x)}$

解题步骤 1.3.8.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2.2

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2.3

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2.4

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

解题步骤 2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

解题步骤 2.7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 3

将 $\frac{π}{4}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.2

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.3.6.5

计算指数。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.4.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.5

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{- 2^{1}}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.5.5

计算指数。

$\frac{- 1 \cdot 2}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.2.4

以因式分解的形式重写 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.2.4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.4.2.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.2.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{- 1 \cdot 2}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

解题步骤 4.2.4.2.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{\sqrt{2}}$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2}{\sqrt{2}}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{\sqrt{2}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.6.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.6.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 4.6.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 4.6.6.5

计算指数。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1

约去公因数。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.7.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- \sqrt{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \sqrt{2}$

小数形式：

$- 1.41421356 \dots$

微积分学 示例

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