微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 4 \sin (3 x) d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 x) d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

解题步骤 2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$4 \int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$4 \int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

解题步骤 6

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{4}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

解题步骤 7

计算 $- \cos (u)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{4}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

解题步骤 8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{4}{3} (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{4}{3} (- - \cos (0) + 1)$

解题步骤 9.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{4}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

解题步骤 9.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} (- - 1 + 1)$

解题步骤 9.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{3} (1 + 1)$

解题步骤 9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} \cdot 2$

解题步骤 9.6

乘以 $\frac{4}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 9.6.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{4 \cdot 2}{3}$

解题步骤 9.6.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8}{3}$

小数形式：

$2.\overline{6}$

带分数形式：

$2 \frac{2}{3}$

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