微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.5

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{u^{2}}{2}$ 在 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

解题步骤 5.2.2

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 5.2.2.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 5.2.2.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

解题步骤 5.2.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

解题步骤 5.2.4

将 $\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

解题步骤 6.1.3

重写表达式。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 6.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.3

重写表达式。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

解题步骤 6.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

解题步骤 6.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

解题步骤 6.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 6.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.4.1

约去公因数。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 6.4.4.2

重写表达式。

$\frac{2^{1}}{2}$

解题步骤 6.4.5

计算指数。

$\frac{2}{2}$

解题步骤 6.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$1$

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