微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

解题步骤 2

使 $u = π - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = π - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $π - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [π - x]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $π - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = π - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = π - 0$

解题步骤 2.3

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$u_{lower} = π$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = π - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5.2

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5.3

在公分母上合并分子。

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 2.5.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

解题步骤 4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

解题步骤 5

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

解题步骤 6

计算 $- \cos (u)$ 在 $\frac{3 π}{4}$ 处和在 $π$ 处的值。

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

解题步骤 7.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

解题步骤 7.1.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

解题步骤 7.1.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

解题步骤 7.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

解题步骤 7.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 7.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

解题步骤 7.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

解题步骤 7.3.2

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

解题步骤 7.3.3

重写表达式。

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

解题步骤 7.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \sqrt{2} + 2$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \sqrt{2} + 2$

小数形式：

$0.58578643 \dots$

微积分学 示例

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