微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 + \tan (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $3 + \tan (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3.1.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

解题步骤 1.1.3.5

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (2 x)$ 的左侧。

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $2 \sec^{2} (2 x)$ 相加。

$2 \sec^{2} (2 x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

解题步骤 1.3.1.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 3 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

解题步骤 1.5.1.1.2

约去公因数。

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

解题步骤 1.5.1.1.3

重写表达式。

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.5.1.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 3 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

解题步骤 5

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $4$ 处和在 $3$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

解题步骤 7.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

小数形式：

$0.14384103 \dots$

微积分学 示例

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