微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 5} (2 x) \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \cos (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \cos (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $\cos (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (2 x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \cos (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 1.3.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \cos (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

解题步骤 1.5.1.2

约去公因数。

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 1.5.1.3

重写表达式。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.5.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.2

组合 ${u_{2}}^{- 5}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 5}}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${u_{2}}^{- 5}$ 移动到分母。

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{5}} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{5}} d u_{2})$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

通过将 ${u_{2}}^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{5})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 5.2

将 ${({u_{2}}^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{5 \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 5.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 5} d u_{2}$

解题步骤 6

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 5}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

计算 $- \frac{1}{4} {u_{2}}^{- 4}$ 在 $\frac{1}{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 2^{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} (- 16 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2.4

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{- 16}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2.5

约去 $- 16$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.5.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{2} (\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4}{1} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2.5.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 7.2.6

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4} \cdot 1)$

解题步骤 7.2.7

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} (- 4 + \frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.8

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{1}{2} (- 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.9

组合 $- 4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.10

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 4 + 1}{4}$

解题步骤 7.2.11

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.11.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 16 + 1}{4}$

解题步骤 7.2.11.2

将 $- 16$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 15}{4}$

解题步骤 7.2.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} (- \frac{15}{4})$

解题步骤 7.2.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{15}{4}$

解题步骤 7.2.14

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

解题步骤 7.2.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{15}{4}$ 。

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.16

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{15}{8}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{15}{8}$

小数形式：

$1.875$

带分数形式：

$1 \frac{7}{8}$

微积分学 示例

微积分学示例