微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos (2 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (2 x)$ 。

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) d x)$

解题步骤 4

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

解题步骤 8

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 9.2

计算 $- \cos (u)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 (π)}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.3

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $\sin (\frac{π}{2})$ 。

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.4

将 $\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ 重写为乘积形式。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.5

将 $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.7

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.8

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.9

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.9.2.2

约去公因数。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.9.2.3

重写表达式。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.11

将 $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 9.3.12

要将 $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 9.3.13

组合 $- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

解题步骤 9.3.14

在公分母上合并分子。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

解题步骤 9.3.15

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 8 (\frac{1}{4}) (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

解题步骤 9.3.16

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 8}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

解题步骤 9.3.17

约去 $- 8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.17.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

解题步骤 9.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.17.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

解题步骤 9.3.17.2.2

约去公因数。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

解题步骤 9.3.17.2.3

重写表达式。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

解题步骤 9.3.17.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

解题步骤 10.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{8}$

解题步骤 10.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{8}$

解题步骤 10.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{8}$

解题步骤 10.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{8}$

解题步骤 10.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{π - 2 \cdot 1}{8}$

解题步骤 10.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π - 2}{8}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π - 2}{8}$

小数形式：

$0.14269908 \dots$

微积分学 示例

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