微积分学示例

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 6 x$ 。然后使 $d u_{1} = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 6 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = 6 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = 6 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

解题步骤 1.5

将 $6$ 乘以 $0.9$ 。

$u_{upper} = 5.4$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\cos (\sqrt{u_{1}})$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ ，以便 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6.2

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u_{2}$ ， $dv = \cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 8

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $u_{2} \sin (u_{2})$ 在 $\sqrt{5.4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

解题步骤 9.2

计算 $- \cos (u_{2})$ 在 $\sqrt{5.4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

解题步骤 9.3.2

将 $\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

解题步骤 10

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\sin (\sqrt{5.4})$ 。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

解题步骤 11.2

将 $\sqrt{5.4}$ 乘以 $0.72964498$ 。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

解题步骤 11.3

计算 $\cos (\sqrt{5.4})$ 。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

解题步骤 11.4

将 $- 1$ 乘以 $- 0.68382614$ 。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

解题步骤 11.5

将 $0.68382614$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

解题步骤 11.6

将 $- 1$ 乘以 $1.68382614$ 。

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

解题步骤 11.7

从 $1.69554172$ 中减去 $1.68382614$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

解题步骤 11.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $0.01171557$ 。

$\frac{0.01171557}{3}$

解题步骤 11.9

用 $0.01171557$ 除以 $3$ 。

$0.00390519$

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