微积分学示例

$\int_{0}^{1} 3 + \frac{1}{4} u^{4} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} 3 d u + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$3 u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} u^{9} d u$

解题步骤 5

由于 $- \frac{2}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- \frac{2}{3}$ 移到积分外。

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{9} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{9}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{10} u^{10}$ 。

$3 u]_{0}^{1} + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $3 u$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(3 \cdot 1) - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} \frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

解题步骤 7.2

计算 $\frac{1}{5} u^{5}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} \frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}$

解题步骤 7.3

计算 $\frac{1}{10} u^{10}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$3 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - 3 \cdot 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$3 + 0 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.3

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.4

一的任意次幂都为一。

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.5

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.7

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.8

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$3 + \frac{1}{4} (\frac{1}{5} + 0) - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.9

将 $\frac{1}{5}$ 和 $0$ 相加。

$3 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.10

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$3 + \frac{1}{4 \cdot 5} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.11

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$3 + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.12

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$3 \cdot \frac{20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.13

组合 $3$ 和 $\frac{20}{20}$ 。

$\frac{3 \cdot 20}{20} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.14

在公分母上合并分子。

$\frac{3 \cdot 20 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.15

化简分子。

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解题步骤 7.4.15.1

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$\frac{60 + 1}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.15.2

将 $60$ 和 $1$ 相加。

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} ((\frac{1}{10} \cdot 1^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.16

一的任意次幂都为一。

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} \cdot 1 - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.17

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0^{10})$

解题步骤 7.4.18

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 0)$

解题步骤 7.4.19

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0 (\frac{1}{10}))$

解题步骤 7.4.20

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} (\frac{1}{10} + 0)$

解题步骤 7.4.21

将 $\frac{1}{10}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{61}{20} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{10}$

解题步骤 7.4.22

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{61}{20} - \frac{2}{10 \cdot 3}$

解题步骤 7.4.23

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$\frac{61}{20} - \frac{2}{30}$

解题步骤 7.4.24

约去 $2$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.24.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{61}{20} - \frac{2 (1)}{30}$

解题步骤 7.4.24.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.24.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

解题步骤 7.4.24.2.2

约去公因数。

$\frac{61}{20} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15}$

解题步骤 7.4.24.2.3

重写表达式。

$\frac{61}{20} - \frac{1}{15}$

解题步骤 7.4.25

要将 $\frac{61}{20}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15}$

解题步骤 7.4.26

要将 $- \frac{1}{15}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{61}{20} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.4.27

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $60$ 的形式。

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解题步骤 7.4.27.1

将 $\frac{61}{20}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{61 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.4.27.2

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{1}{15} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.4.27.3

将 $\frac{1}{15}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{15 \cdot 4}$

解题步骤 7.4.27.4

将 $15$ 乘以 $4$ 。

$\frac{61 \cdot 3}{60} - \frac{4}{60}$

解题步骤 7.4.28

在公分母上合并分子。

$\frac{61 \cdot 3 - 4}{60}$

解题步骤 7.4.29

化简分子。

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解题步骤 7.4.29.1

将 $61$ 乘以 $3$ 。

$\frac{183 - 4}{60}$

解题步骤 7.4.29.2

从 $183$ 中减去 $4$ 。

$\frac{179}{60}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{179}{60}$

小数形式：

$2.98\overline{3}$

带分数形式：

$2 \frac{59}{60}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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