微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ 重写为乘积形式。

$\int_{0}^{1} \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3.2

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x$

解题步骤 3.3

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

解题步骤 3.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

解题步骤 3.5.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 5.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

解题步骤 7

计算 $\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})) - \ln (0) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

解题步骤 8

零的自然对数无定义。

无定义

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