微积分学示例

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

解题步骤 1

使 $u = \frac{π}{4} y$ 。然后使 $d u = \frac{π}{4} d y$ ，以便 $\frac{4}{π} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{π}{4} y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{π}{4} y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{π}{4} y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{π}{4} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π}{4}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{π}{4} y$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{π}{4} y$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{π}{4}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{4}{π}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

解题步骤 2.3

组合 $\tan^{2} (u)$ 和 $\frac{4}{π}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

解题步骤 2.4

将 $4$ 移到 $\tan^{2} (u)$ 的左侧。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{4}{π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{4}{π}$ 移到积分外。

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

解题步骤 4

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (u)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (u)$ 的形式。

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

解题步骤 7

因为 $\tan (u)$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ ，所以 $\sec^{2} (u)$ 的积分为 $\tan (u)$ 。

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

解题步骤 8

组合 $- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ 和 $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ 。

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $- u + \tan (u)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $\tan (0)$ 相加。

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

解题步骤 10.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

解题步骤 10.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

解题步骤 10.4

将 $- \frac{π}{4} + 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

解题步骤 11.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

解题步骤 11.2.2

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

解题步骤 11.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

解题步骤 11.3

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

从 $- π$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

解题步骤 11.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

解题步骤 11.3.3

重写表达式。

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

解题步骤 11.4

将 $\frac{4}{π}$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \frac{4}{π}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 1 + \frac{4}{π}$

小数形式：

$0.27323954 \dots$

微积分学 示例

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