微积分学示例

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

解题步骤 1

使 $u = t^{4} + 7 t$ 。然后使 $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ ，以便 $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = t^{4} + 7 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $t^{4} + 7 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $t^{4} + 7 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [7 t]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $7 t$ 对 $t$ 的导数是 $7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$4 t^{3} + 7$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = t^{4} + 7 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

解题步骤 1.3.1.2

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = t^{4} + 7 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 + 7$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $8$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.2

乘以 $3 (\frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.7

将 $2$ 和 $9$ 相加。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.8

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.9

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.10.1

约去公因数。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.10.2

重写表达式。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 4.2.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

解题步骤 4.2.12

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.13

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

解题步骤 4.2.14

将 $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

小数形式：

$15.08494466 \dots$

解题步骤 6

微积分学 示例

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