微积分学示例

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $32 y - 2$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

解题步骤 1.3

从 $32 y - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.3.1

从 $32 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

解题步骤 1.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

解题步骤 1.3.3

从 $2 (16 y) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

解题步骤 3

使 $u = 8 y^{2} - y + 1$ 。然后使 $d u = (16 y - 1) d y$ ，以便 $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 8 y^{2} - y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $8 y^{2} - y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $8 y^{2} - y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $8$ 对于 $y$ 是常数，所以 $8 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3.1.4

计算 $\frac{d}{d y} [- y]$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3.1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 3.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.5.1

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$16 y - 1 + 0$

解题步骤 3.1.5.2

将 $16 y - 1$ 和 $0$ 相加。

$16 y - 1$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = 8 y^{2} - y + 1$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

解题步骤 3.3.1.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

解题步骤 3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

解题步骤 3.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = 8 y^{2} - y + 1$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

解题步骤 3.5.1.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

解题步骤 3.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

解题步骤 3.5.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 7 + 1$

解题步骤 3.5.3

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

解题步骤 4.2.3

将负号移到分数的前面。

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 。

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

解题步骤 6

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $u^{\frac{2}{3}}$ 。

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

约去公因数。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.3.2

重写表达式。

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.6

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.6.2.2

约去公因数。

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.6.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.6.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

解题步骤 7.2.7

一的任意次幂都为一。

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

解题步骤 7.2.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (6 - \frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.9

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.10

组合 $6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.11

在公分母上合并分子。

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

解题步骤 7.2.12

化简分子。

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解题步骤 7.2.12.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{12 - 3}{2}$

解题步骤 7.2.12.2

从 $12$ 中减去 $3$ 。

$2 (\frac{9}{2})$

解题步骤 7.2.13

组合 $2$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

解题步骤 7.2.14

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{18}{2}$

解题步骤 7.2.15

约去 $18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.15.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

解题步骤 7.2.15.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.15.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

解题步骤 7.2.15.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.15.2.3

重写表达式。

$\frac{9}{1}$

解题步骤 7.2.15.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$9$

解题步骤 8

微积分学 示例

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