微积分学示例

$\int_{0}^{1} {(1 - x)}^{9} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 0$

解题步骤 1.3

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{0} - u^{9} d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{0} u^{9} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{9}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{10} u^{10}$ 。

$- (\frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{0})$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $u^{10}$ 。

$- (\frac{u^{10}}{10}]_{1}^{0})$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{u^{10}}{10}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((\frac{0^{10}}{10}) - \frac{1^{10}}{10})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- (\frac{0}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

解题步骤 5.2.2

约去 $0$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $10$ 。

$- (\frac{10 (0)}{10} - \frac{1^{10}}{10})$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $10$ 。

$- (\frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1} - \frac{1^{10}}{10})$

解题步骤 5.2.2.2.2

约去公因数。

$- (\frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1} - \frac{1^{10}}{10})$

解题步骤 5.2.2.2.3

重写表达式。

$- (\frac{0}{1} - \frac{1^{10}}{10})$

解题步骤 5.2.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- (0 - \frac{1^{10}}{10})$

解题步骤 5.2.3

一的任意次幂都为一。

$- (0 - \frac{1}{10})$

解题步骤 5.2.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{10}$ 。

$- - \frac{1}{10}$

解题步骤 5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{10})$

解题步骤 5.2.6

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{10}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{10}$

小数形式：

$0.1$

解题步骤 7

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