微积分学示例

$\int_{0}^{2} x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 5 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 5 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

解题步骤 3

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 8 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 8 d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 8 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 8 x]_{0}^{2}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}$ 和 $8 x]_{0}^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + 8 x]_{0}^{2} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 10.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 10.2.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4} + 8 \cdot 2) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4

化简。

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解题步骤 10.2.4.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 16 + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{16}{4} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 + 8 \cdot 2 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.4

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$4 + 16 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.5

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$20 - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$20 - (\frac{1}{4} \cdot 0 + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.7

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$20 - (0 + 8 \cdot 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.8

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$20 - (0 + 0) - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$20 - 0 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$20 + 0 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.11

将 $20$ 和 $0$ 相加。

$20 - 5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.12

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.13

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.14

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.14.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.14.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.14.2.2

约去公因数。

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.14.2.3

重写表达式。

$20 - 5 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.14.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$20 - 5 (\frac{8}{3} - 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.15

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$20 - 5 (\frac{8}{3} + 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.16

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$20 - 5 (\frac{8}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.17

组合 $- 5$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$20 + \frac{- 5 \cdot 8}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.18

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$20 + \frac{- 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.19

将负号移到分数的前面。

$20 - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.20

要将 $20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.21

组合 $20$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.22

在公分母上合并分子。

$\frac{20 \cdot 3 - 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.23

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.23.1

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$\frac{60 - 40}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.23.2

从 $60$ 中减去 $40$ 。

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.24

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.25.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.25.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25.2.2

约去公因数。

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25.2.3

重写表达式。

$\frac{20}{3} + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.26

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0}{2})$

解题步骤 10.2.4.27

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.27.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 10.2.4.27.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.27.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 10.2.4.27.2.2

约去公因数。

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 10.2.4.27.2.3

重写表达式。

$\frac{20}{3} + 2 (2 - \frac{0}{1})$

解题步骤 10.2.4.27.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{20}{3} + 2 (2 - 0)$

解题步骤 10.2.4.28

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{20}{3} + 2 (2 + 0)$

解题步骤 10.2.4.29

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{20}{3} + 2 \cdot 2$

解题步骤 10.2.4.30

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{20}{3} + 4$

解题步骤 10.2.4.31

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{20}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 10.2.4.32

组合 $4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{20}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 10.2.4.33

在公分母上合并分子。

$\frac{20 + 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 10.2.4.34

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.34.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20 + 12}{3}$

解题步骤 10.2.4.34.2

将 $20$ 和 $12$ 相加。

$\frac{32}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{32}{3}$

小数形式：

$10.\overline{6}$

带分数形式：

$10 \frac{2}{3}$

解题步骤 12

微积分学 示例

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