微积分学示例

$\int_{0}^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

解题步骤 3

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 8.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 8.2.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4

化简。

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解题步骤 8.2.4.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.3

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.5

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$4 + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.6

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$4 + 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.7

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.10

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.10.2.2

约去公因数。

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.10.2.3

重写表达式。

$4 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 - 3 (\frac{8}{3} - 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$4 - 3 (\frac{8}{3} + 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.12

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 - 3 (\frac{8}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.13

组合 $- 3$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$4 + \frac{- 3 \cdot 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.14

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$4 + \frac{- 24}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.15

约去 $- 24$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.15.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 + \frac{3 \cdot - 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.15.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.15.2.2

约去公因数。

$4 + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.15.2.3

重写表达式。

$4 + \frac{- 8}{1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.15.2.4

用 $- 8$ 除以 $1$ 。

$4 - 8 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.16

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$- 4 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.17

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 4 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.18

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.18.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.18.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.18.2.2

约去公因数。

$- 4 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.18.2.3

重写表达式。

$- 4 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.18.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- 4 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.4.19

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 4 + 2 (2 - \frac{0}{2})$

解题步骤 8.2.4.20

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.20.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 8.2.4.20.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.20.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 8.2.4.20.2.2

约去公因数。

$- 4 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 8.2.4.20.2.3

重写表达式。

$- 4 + 2 (2 - \frac{0}{1})$

解题步骤 8.2.4.20.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 4 + 2 (2 - 0)$

解题步骤 8.2.4.21

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 4 + 2 (2 + 0)$

解题步骤 8.2.4.22

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$- 4 + 2 \cdot 2$

解题步骤 8.2.4.23

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 + 4$

解题步骤 8.2.4.24

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$0$

解题步骤 9

微积分学 示例

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