微积分学示例

$\int_{0}^{2} z^{2} \ln (z) d z$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (z)$ ， $d v = z^{2}$ 。

$\ln (z) (\frac{1}{3} z^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $z^{3}$ 。

$\ln (z) \frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (z)$ 和 $\frac{z^{3}}{3}$ 。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{3} \frac{1}{z} d z)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $z^{3}$ 和 $\frac{1}{z}$ 。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{3}}{z} d z)$

解题步骤 4.2

约去 $z^{3}$ 和 $z$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $z^{3}$ 中分解出因数 $z$ 。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z} d z)$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z^{1}} d z)$

解题步骤 4.2.2.2

从 $z^{1}$ 中分解出因数 $z$ 。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{2}}{1} d z)$

解题步骤 4.2.2.5

用 $z^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z)$

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z$

解题步骤 5

根据幂法则， $z^{2}$ 对 $z$ 的积分是 $\frac{1}{3} z^{3}$ 。

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

解题步骤 6

计算 $\frac{\ln (z) z^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) z^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

解题步骤 7

零的自然对数无定义。

无定义

微积分学 示例

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