微积分学示例

$\int_{0}^{2} r^{2} e^{3 r} d r$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = r^{2}$ ， $d v = e^{3 r}$ 。

$r^{2} (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 r}$ 。

$r^{2} \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

解题步骤 2.2

组合 $r^{2}$ 和 $\frac{e^{3 r}}{3}$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r)$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = r$ ， $d v = e^{3 r}$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 r}$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

解题步骤 6.2

组合 $r$ 和 $\frac{e^{3 r}}{3}$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3 r}$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{e^{3 r}}{3} d r)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} d r))$

解题步骤 8

使 $u = 3 r$ 。然后使 $d u = 3 d r$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d r$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = 3 r$ 。求 $\frac{d u}{d r}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $3 r$ 求导。

$\frac{d}{d r} [3 r]$

解题步骤 8.1.2

因为 $3$ 对于 $r$ 是常数，所以 $3 r$ 对 $r$ 的导数是 $3 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$3 \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = 3 r$ 中的 $r$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 8.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = 3 r$ 中的 $r$ 。

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

解题步骤 8.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 6$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u)$

解题步骤 9

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

解题步骤 11.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

解题步骤 12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} e^{u}]_{0}^{6})$

解题步骤 13

组合 $e^{u}]_{0}^{6}$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

解题步骤 14.2

计算 $\frac{r e^{3 r}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

解题步骤 14.3

计算 $e^{u}$ 在 $6$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 e^{3 \cdot 2}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.7

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.7.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 14.4.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.7.2.3

重写表达式。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.7.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.9

将 $\frac{4 e^{6}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.11

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.12

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.13

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.14

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.14.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 14.4.14.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.14.2.2

约去公因数。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.14.2.3

重写表达式。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.14.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.15

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} + 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.16

将 $\frac{2 e^{6}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

解题步骤 14.4.17

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1 \cdot 1}{9})$

解题步骤 14.4.18

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

解题步骤 14.4.19

要将 $\frac{2 e^{6}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

解题步骤 14.4.20

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 14.4.20.1

将 $\frac{2 e^{6}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

解题步骤 14.4.20.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{9} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

解题步骤 14.4.21

在公分母上合并分子。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 e^{6} \cdot 3 - (e^{6} - 1)}{9}$

解题步骤 14.4.22

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$

解题步骤 14.4.23

将 $\frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{9 \cdot 3}$

解题步骤 14.4.24

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{27}$

解题步骤 14.4.25

将 $2$ 移到 $6 e^{6} - (e^{6} - 1)$ 的左侧。

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2 \cdot (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

解题步骤 14.4.26

要将 $\frac{4 e^{6}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{4 e^{6}}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

解题步骤 14.4.27

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 14.4.27.1

将 $\frac{4 e^{6}}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

解题步骤 14.4.27.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{27} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

解题步骤 14.4.28

在公分母上合并分子。

$\frac{4 e^{6} \cdot 9 - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

解题步骤 14.4.29

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

解题步骤 15

化简分子。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

运用分配律。

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} - - 1)}{27}$

解题步骤 15.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} + 1)}{27}$

解题步骤 15.2

从 $6 e^{6}$ 中减去 $e^{6}$ 。

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6} + 1)}{27}$

解题步骤 15.3

运用分配律。

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6}) - 2 \cdot 1}{27}$

解题步骤 15.4

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2 \cdot 1}{27}$

解题步骤 15.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2}{27}$

解题步骤 15.6

从 $36 e^{6}$ 中减去 $10 e^{6}$ 。

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

小数形式：

$388.41291225 \dots$

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例