微积分学示例

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = \sqrt{x}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $\sqrt{x}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 9.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.4.2

重写表达式。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

解题步骤 9.2.1.5

化简。

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{x (2 x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 9.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 9.2.8

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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