微积分学示例

$\int_{0}^{2} (y - 1) (2 y + 1) d y$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int_{0}^{2} y (2 y + 1) - 1 (2 y + 1) d y$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y + 1) d y$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int_{0}^{2} y (2 y) + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

解题步骤 1.4

将 $y$ 和 $2$ 重新排序。

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + y \cdot 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$\int_{0}^{2} 2 \cdot y \cdot y + 1 \cdot y - 1 (2 y) - 1 \cdot 1 d y$

解题步骤 1.6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

解题步骤 1.7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{2} 2 (y^{1} y^{1}) + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

解题步骤 1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{2} 2 y^{1 + 1} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

解题步骤 1.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + 1 y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

解题步骤 1.10

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 1 \cdot 2 y - 1 \cdot 1 d y$

解题步骤 1.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 \cdot 1 d y$

解题步骤 1.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} + y - 2 y - 1 d y$

解题步骤 1.13

从 $y$ 中减去 $2 y$ 。

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} - y - 1 d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} 2 y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{2} y^{2} d y + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} y d y + \int_{0}^{2} - 1 d y$

解题步骤 7

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 1 d y$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{y^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - y]_{0}^{2}$

解题步骤 10.2

计算 $\frac{y^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - y]_{0}^{2}$

解题步骤 10.3

计算 $- y$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.3.2.2

约去公因数。

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.3.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$2 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.5

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.6

组合 $2$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.7

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{16}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.9

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.9.2.2

约去公因数。

$\frac{16}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.9.2.3

重写表达式。

$\frac{16}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.9.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.11

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 (0)}{2}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.11.2.2

约去公因数。

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.11.2.3

重写表达式。

$\frac{16}{3} - (2 - \frac{0}{1}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{16}{3} - (2 - 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.12

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{16}{3} - (2 + 0) + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.13

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.14

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16}{3} - 2 + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.15

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{16}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.16

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{16}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.17

在公分母上合并分子。

$\frac{16 - 2 \cdot 3}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.18

化简分子。

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解题步骤 10.4.18.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{16 - 6}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.18.2

从 $16$ 中减去 $6$ 。

$\frac{10}{3} + (- 1 \cdot 2) + 0$

解题步骤 10.4.19

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{3} - 2 + 0$

解题步骤 10.4.20

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{10}{3} - 2$

解题步骤 10.4.21

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 10.4.22

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 10.4.23

在公分母上合并分子。

$\frac{10 - 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 10.4.24

化简分子。

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解题步骤 10.4.24.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{10 - 6}{3}$

解题步骤 10.4.24.2

从 $10$ 中减去 $6$ 。

$\frac{4}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4}{3}$

小数形式：

$1.\overline{3}$

带分数形式：

$1 \frac{1}{3}$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例