微积分学示例

$\int_{0}^{2} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 1$

解题步骤 1.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 - 1$

解题步骤 1.5

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{- 1}^{1} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

解题步骤 2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{- 1}^{1} u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- \frac{2}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $3 u^{\frac{1}{3}}$ 。

$3 u^{\frac{1}{3}}]_{- 1}^{1}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $3 u^{\frac{1}{3}}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}) - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$3 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$3 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 4.2.5.2

重写表达式。

$3 - 3 {(- 1)}^{1}$

解题步骤 4.2.6

计算指数。

$3 - 3 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.7

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 + 3$

解题步骤 4.2.8

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$6$

解题步骤 5

微积分学 示例

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