微积分学示例

$\int_{0}^{2} (2 x - 3) (4 x^{2} + 1) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2} + 1) - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2} + 1) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int_{0}^{2} 2 x (4 x^{2}) + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.4

移动 $x$ 。

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.5

移动 $x$ 。

$\int_{0}^{2} 2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\int_{0}^{2} 8 x \cdot x^{2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{2} 8 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{2} 8 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.9

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.11

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.12

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 3 d x$

解题步骤 1.13

移动 $2 x$ 。

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 3 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} 8 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 3

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 6

由于 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 12$ 移到积分外。

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 9

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

解题步骤 13.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2}$

解题步骤 13.4

计算 $- 3 x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5

化简。

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解题步骤 13.5.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$8 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.2

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.2.2.2

约去公因数。

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.2.2.3

重写表达式。

$8 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$8 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$8 (4 - \frac{0}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.4

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.4.2.2

约去公因数。

$8 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.4.2.3

重写表达式。

$8 (4 - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$8 (4 - 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$8 (4 + 0) - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.6

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$8 \cdot 4 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.7

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$32 - 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.10

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.10.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.10.2.2

约去公因数。

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.10.2.3

重写表达式。

$32 - 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$32 - 12 (\frac{8}{3} - 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$32 - 12 (\frac{8}{3} + 0) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.12

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$32 - 12 (\frac{8}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.13

组合 $- 12$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$32 + \frac{- 12 \cdot 8}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.14

将 $- 12$ 乘以 $8$ 。

$32 + \frac{- 96}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.15

约去 $- 96$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.15.1

从 $- 96$ 中分解出因数 $3$ 。

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.15.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.15.2.2

约去公因数。

$32 + \frac{3 \cdot - 32}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.15.2.3

重写表达式。

$32 + \frac{- 32}{1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.15.2.4

用 $- 32$ 除以 $1$ 。

$32 - 32 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.16

从 $32$ 中减去 $32$ 。

$0 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.17

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.18

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.18.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.18.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.18.2.2

约去公因数。

$0 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.18.2.3

重写表达式。

$0 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.18.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$0 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.19

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.20

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.20.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.20.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.20.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.20.2.2

约去公因数。

$0 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.20.2.3

重写表达式。

$0 + 2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.20.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0 + 2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.21

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.22

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$0 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.23

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 + 4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.24

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.25

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$4 - 6 + 3 \cdot 0$

解题步骤 13.5.26

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 - 6 + 0$

解题步骤 13.5.27

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$4 - 6$

解题步骤 13.5.28

从 $4$ 中减去 $6$ 。

$- 2$

解题步骤 14

微积分学 示例

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