微积分学示例

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

解题步骤 2

使 $u = π x$ 。然后使 $d u = π d x$ ，以便 $\frac{1}{π} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = π x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $π x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$π \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$π \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = π x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = π \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = π x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = π \cdot 2$

解题步骤 2.5

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

解题步骤 3

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

解题步骤 5

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

解题步骤 10

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $- \cos (u)$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

解题步骤 13.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4

化简。

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解题步骤 13.4.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.2

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.4

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.6

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.8

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.8.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.8.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.8.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 13.4.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

解题步骤 13.4.10

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

解题步骤 13.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

解题步骤 13.4.10.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

解题步骤 13.4.10.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

解题步骤 13.4.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

解题步骤 13.4.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

解题步骤 13.4.12

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

解题步骤 13.4.13

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

解题步骤 13.4.14

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

解题步骤 13.4.15

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

解题步骤 14

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

解题步骤 15.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

解题步骤 15.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

解题步骤 15.4

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

解题步骤 15.5

将 $\frac{1}{π}$ 乘以 $0$ 。

$0 + 4$

解题步骤 15.6

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4$

微积分学 示例

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