微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{1}{5 + t} d t d x$

解题步骤 1

使 $u = 5 + t$ 。然后使 $d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 5 + t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $5 + t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [5 + t]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $5 + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.3

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 5 + t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 5 + 0$

解题步骤 1.3

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 5$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 5 + t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 5 + 1$

解题步骤 1.5

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 6$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 6$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{5}^{6} \frac{1}{u} d u d x$

解题步骤 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |)]_{5}^{6} d x$

解题步骤 3

计算 $\ln (| u |)$ 在 $6$ 处和在 $5$ 处的值。

$(\ln (| 6 |) - \ln (| 5 |)) d x$

解题步骤 4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 6 |}{| 5 |}) d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $6$ 之间的距离为 $6$ 。

$\ln (\frac{6}{| 5 |}) d x$

解题步骤 5.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$\ln (\frac{6}{5}) d x$

解题步骤 6

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