微积分学示例

$\int_{0}^{1} 24 e^{4 x} d x$

解题步骤 1

由于 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $24$ 移到积分外。

$24 \int_{0}^{1} e^{4 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

解题步骤 2.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$24 \int_{0}^{4} e^{u} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$24 \int_{0}^{4} \frac{e^{u}}{4} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$24 (\frac{1}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $24$ 。

$\frac{24}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

解题步骤 5.2

约去 $24$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 6}{4} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 6}{4 (1)} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 1} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{1} \int_{0}^{4} e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6 \int_{0}^{4} e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$6 (e^{u}]_{0}^{4})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $e^{u}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$6 ((e^{4}) - e^{0})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$6 (e^{4} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 (e^{4} - 1)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$6 e^{4} + 6 \cdot - 1$

解题步骤 8.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$6 e^{4} - 6$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$6 e^{4} - 6$

小数形式：

$321.58890019 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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