微积分学示例

$\int_{0}^{1} 2 e^{0.09 x} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{1} e^{0.09 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = 0.09 x$ 。然后使 $d u = 0.09 d x$ ，以便 $\frac{1}{0.09} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 0.09 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $0.09 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [0.09 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $0.09$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.09 x$ 对 $x$ 的导数是 $0.09 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0.09 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0.09 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $0.09$ 乘以 $1$ 。

$0.09$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 0.09 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0.09 \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $0.09$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 0.09 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 0.09 \cdot 1$

解题步骤 2.5

将 $0.09$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 0.09$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0.09$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{0}^{0.09} e^{u} \frac{1}{0.09} d u$

解题步骤 3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{0.09}$ 。

$2 \int_{0}^{0.09} \frac{e^{u}}{0.09} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{0.09}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.09}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{0.09} \int_{0}^{0.09} e^{u} d u)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{0.09}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{0.09} \int_{0}^{0.09} e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{2}{0.09} e^{u}]_{0}^{0.09}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $e^{u}$ 在 $0.09$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{2}{0.09} ((e^{0.09}) - e^{0})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{2}{0.09} (e^{0.09} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{0.09} (e^{0.09} - 1)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

用 $2$ 除以 $0.09$ 。

$22.\overline{2} (e^{0.09} - 1)$

解题步骤 8.2

将 $22.\overline{2}$ 乘以 $e^{0.09} - 1$ 。

$2.09276186$

解题步骤 9

微积分学 示例

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