微积分学示例

$\int_{0}^{1} 11 x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

解题步骤 1

由于 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $11$ 移到积分外。

$11 \int_{0}^{1} x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

解题步骤 2

使 $u = 1 + x^{11}$ 。然后使 $d u = 11 x^{10} d x$ ，以便 $\frac{1}{11} d u = x^{10} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 1 + x^{11}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 + x^{11}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{11}]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $1 + x^{11}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

解题步骤 2.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

解题步骤 2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 11$ 。

$0 + 11 x^{10}$

解题步骤 2.1.5

将 $0$ 和 $11 x^{10}$ 相加。

$11 x^{10}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 1 + x^{11}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 0^{11}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 1 + x^{11}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 1^{11}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 2.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$11 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{11} d u$

解题步骤 3

组合 $u^{10}$ 和 $\frac{1}{11}$ 。

$11 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{11} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{11}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{11}$ 移到积分外。

$11 (\frac{1}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{11}$ 和 $11$ 。

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

解题步骤 5.2

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

解题步骤 5.3

将 $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{10}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{11} u^{11}$ 。

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{1}{11} u^{11}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

对 $2$ 进行 $11$ 次方运算。

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{1}{11}$ 和 $2048$ 。

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

解题步骤 7.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

解题步骤 7.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

解题步骤 7.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2048 - 1}{11}$

解题步骤 7.2.6

从 $2048$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2047}{11}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2047}{11}$

小数形式：

$186.\overline{09}$

带分数形式：

$186 \frac{1}{11}$

解题步骤 9

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