微积分学示例

$s = t^{2} \ln (t)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} \ln (t))$

解题步骤 2

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \ln (t)$ 。

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.2

$\ln (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\frac{1}{t}$ 。

$t^{2} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{1}{t}$ 。

$\frac{t^{2}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3.2

约去 $t^{2}$ 和 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t \cdot t}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t \cdot t}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $t^{1}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3.2.2.3

约去公因数。

$\frac{t \cdot t}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3.2.2.4

重写表达式。

$\frac{t}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3.2.2.5

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t + \ln (t) (2 t)$

解题步骤 3.3.4

重新排序项。

$2 t \ln (t) + t$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = 2 t \ln (t) + t$

解题步骤 5

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = 2 t \ln (t) + t$

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