微积分学示例

$\int_{0}^{1} x \sin (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \cos (x) d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \cos (x) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \cos (x) d x$

解题步骤 3.2

将 $\int_{0}^{1} \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos (x) d x$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \sin (x)]_{0}^{1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $x (- \cos (x))]_{0}^{1}$ 和 $\sin (x)]_{0}^{1}$ 。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \cos (1) + \sin (1) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \cos (1) + \sin (1) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

解题步骤 5.2.2.3

将 $0$ 乘以 $\cos (0)$ 。

$- \cos (1) + \sin (1) - (0 + \sin (0))$

解题步骤 5.2.2.4

将 $0$ 和 $\sin (0)$ 相加。

$- \cos (1) + \sin (1) - \sin (0)$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \cos (1) + \sin (1) - 0$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \cos (1) + \sin (1) + 0$

解题步骤 5.3.3

将 $- \cos (1) + \sin (1)$ 和 $0$ 相加。

$- \cos (1) + \sin (1)$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

计算 $\cos (1)$ 。

$- 1 \cdot 0.5403023 + \sin (1)$

解题步骤 5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $0.5403023$ 。

$- 0.5403023 + \sin (1)$

解题步骤 5.4.3

将 $- 0.5403023$ 和 $\sin (1)$ 相加。

$0.30116867$

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